Lección 1: Integración por partes

Módulo 1 / Lección 1

Resumen Teórico: Deducción y Uso de la Fórmula

La integración por partes es un método fundamental de integración que surge directamente de la regla del producto para la derivación. Supongamos que tenemos dos funciones, \(u(x)\) y \(v(x)\). Si recordamos la derivada de su producto:

\[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v' \]

Al despejar el término \(u \cdot v'\) e integrar ambos lados de la ecuación, obtenemos la conocida fórmula de integración por partes:

\[ \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \]

Esta fórmula resulta muy útil cuando la derivada de la primera función (\(u\)) simplifica la integral, o cuando la segunda función (\(dv\)) es fácil de integrar.

Ejemplo Práctico Resolutivo

Supongamos que deseamos resolver la siguiente integral:

\[ \int x \cdot e^x \, dx \]

Por comparación, definimos los ingredientes de la fórmula:

  • \(u = x\), por lo tanto derivando obtenemos \(du = 1 \, dx\).
  • \(dv = e^x \, dx\), por lo tanto integrando obtenemos \(v = e^x\) (la integral más sencilla del universo).

Sustituyendo los ingredientes en la fórmula obtenemos:

\[ \int x e^x \, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \]

Puesto que la integral de \(e^x\) es ella misma, la solución final es:

\[ x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C \]

Recursos de la Lección

Guía de Mecánica Cuántica I.pdf
2.4 MB
Fórmulas y Ejercicios.xlsx
1.1 MB

Mis Notas Personales

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